導(dǎo)語

在激光光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計中，我們常常會遇到一個令人頭疼的現(xiàn)象：

明明按照幾何光學(xué)公式1/f = 1/s + 1/s’計算好了透鏡位置，為什么實際測量到的光斑大小和位置總是有偏差？為什么想把光斑聚焦得更小，卻發(fā)現(xiàn)焦深變得極短？

答案在于：激光不是直線，而是波。

大多數(shù)激光應(yīng)用都假設(shè)光束是理想的高斯光束（Gaussian Beam）。它的傳播規(guī)律、聚焦特性與我們熟悉的傳統(tǒng)成像光學(xué)大相徑庭。如果繼續(xù)沿用簡單的幾何光學(xué)思維，你的激光系統(tǒng)設(shè)計注定會存在誤差。

今天，我們將基于經(jīng)典教程，深入剖析高斯光束的傳播機理、薄透鏡公式修正以及“焦距變換"這一反直覺現(xiàn)象。

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01 什么是真正的高斯光束？

The Anatomy of a Gaussian Beam

當(dāng)我們談?wù)摷す馐鴷r，我們首先要明確它的能量分布。理想的基模激光束（TEM00）其輻照度分布是軸對稱的，且隨著離軸距離的增加呈高斯函數(shù)衰減。

但在工程實踐中，沒有真正的理想光束。我們通常引入 M2?因子（光束質(zhì)量因子） 來描述真實激光束與衍射極限下的理想高斯光束的差距。

一個理想高斯光束的輻照度分布公式如下：

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這里有一個關(guān)鍵概念：光束半徑 w(z）。

它并不是光束的“邊緣"，而是指輻照度下降到峰值 I0的 1/e2（約13.5%）處的徑向距離。

圖1: 高斯光束的束腰定義為輻照度為其較大值1/e2 (13.5%) 的位置

02 束腰、發(fā)散與瑞利長度

Understanding Propagation Parameters

激光束在空間傳播時，其直徑并不是恒定的。受衍射效應(yīng)影響，光束會經(jīng)歷“收斂-束腰-發(fā)散"的過程。

• 束腰 (Beam Waist, w?)：光束直徑最小的位置。

• 發(fā)散角 (Divergence, θ)：描述光束在遠場擴散程度的參數(shù)。

這兩者之間存在著一個類似于“測不準(zhǔn)原理"的制約關(guān)系：

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劃重點： 束腰越小，發(fā)散角越大；束腰越大，光束準(zhǔn)直性越好。這就是為什么激光擴束鏡通過放大光束直徑，反而能獲得更準(zhǔn)直光束的物理原因。

此外，還有一個工程師必須掌握的參數(shù)——瑞利長度 (zR)。

它定義了光束橫截面積增加到束腰處兩倍（即直徑增加到 √2 w?）時的軸向距離。

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瑞利長度決定了激光加工中的焦深（Depth of Focus）。如果你需要切割厚材料，你不僅需要極小的光斑，還需要足夠長的瑞利長度。

圖2: 高斯光束通過其束腰 (w0)、瑞利長度 (zR) 和發(fā)散角 (θ) 定義

圖3: 當(dāng)高斯光束離束腰非常近和非常遠時，其波前曲率接近于零

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03 修正：高斯光束的薄透鏡公式

The Gaussian Thin Lens Equation

這是最容易“翻車"的地方。

在傳統(tǒng)成像光學(xué)中，我們使用公式

但在激光光學(xué)中，我們需要引入Sidney Self在1983年推導(dǎo)的高斯薄透鏡公式：

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• s：輸入束腰到透鏡的距離

• s’：透鏡到輸出束腰的距離

• f：透鏡焦距

注意： 當(dāng)瑞利長度zR趨近于0時，這個公式才退化為我們熟悉的幾何光學(xué)公式。對于長焦距透鏡或大光斑系統(tǒng)，直接套用幾何公式會導(dǎo)致焦平面位置計算嚴重偏差。

圖4: zR/f=0 的曲線對應(yīng)于傳統(tǒng)的薄透鏡公式。zR/f>0 的曲線表 明，高斯成像具有瑞利長度所定義的最小和較大成像距離

為了簡化計算，我們通常引入放大倍率 α：

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掌握了這個倍率，你就可以算出透鏡后的新束腰大小w?'和新瑞利長度zR'。

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04 實戰(zhàn)：如何獲得最小的聚焦光斑？

Focusing a Laser Beam to a Spot

在激光打標(biāo)、切割或手術(shù)應(yīng)用中，我們的核心目標(biāo)通常只有一個：把能量集中在盡可能小的點上。

根據(jù)推導(dǎo)，輸出束腰w?'的計算公式為：

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如何讓 w?'最??？觀察公式分母，我們需要較大化分母。這意味著：

1.減小焦距f：使用短焦透鏡。

2.增大輸入光束直徑：在聚焦透鏡前加裝擴束鏡。

這里有兩種極限情況的簡化算法，非常適合工程估算：

情況 A：透鏡在瑞利范圍內(nèi) (s ? zR)此時，輸出束腰簡化為：

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這再次印證了：輸入光斑 w?越大，聚焦光斑w?'越小。

情況 B：透鏡遠離瑞利范圍 (s ? zR)此時，輸出束腰簡化為：

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圖5: 將激光束聚焦到盡可能小的尺寸對于包括這種激光切割裝置在內(nèi)的廣泛應(yīng)用至關(guān)重要

圖6: 對于放大倍率2，輸出束腰將是輸入束腰的兩倍，輸出發(fā)散將是輸入光束發(fā)散的一半

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05 反直覺現(xiàn)象：高斯焦距變換

Gaussian Focal Shift

這是一個經(jīng)常困擾新手的問題：光強較大的點，真的在透鏡的幾何焦點上嗎？

答案是：不一定。

這種現(xiàn)象被稱為高斯焦距變換（Gaussian Focal Shift）。

當(dāng)我們將高斯光束聚焦時，光束半徑最小的位置（即實際束腰位置）通常會稍微偏向透鏡一側(cè)，而不是落在幾何焦距f處。

雖然在大多數(shù)高頻應(yīng)用中這個偏移量很小，但在精密測量或微納加工中，這個微小的Δz足以影響加工質(zhì)量。

?最/大光強位置≠幾何焦點?

?只有當(dāng)輸入光束近似為準(zhǔn)直光（s趨向于無窮大）或聚焦在束腰附近時，最小光斑位置才會與幾何焦點重合。

圖7: 目標(biāo)處的光束半徑在聚焦光束的束腰出現(xiàn)在目標(biāo)前的特定位置，而不是目標(biāo)處時達到最小值

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結(jié)尾

高斯光束的傳播并非玄學(xué)，而是遵循著嚴謹?shù)奈锢砼c數(shù)+學(xué)規(guī)律。

從 M2因子的評估，到薄透鏡公式的修正，再到對焦距變換的理解，每一個細節(jié)都決定了激光系統(tǒng)的最終性能。在設(shè)計光學(xué)系統(tǒng)時，切記不能簡單地將激光等同于幾何光線。

總結(jié)一下今天的關(guān)鍵點：

1.激光束腰與發(fā)散角成反比。

2.計算激光聚焦位置時，請使用高斯薄透鏡公式，而非幾何光學(xué)公式。

3.想要更小的聚焦光斑？請縮短焦距或擴大入射光束。

4.警惕“焦距變換"，實際焦點可能比你計算的更靠近透鏡。